|
Математика
Определение. Сумма членов бесконечной числовой
последовательности
называется числовым рядом.
При этом числа
будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.
Определение.
Суммы
, n
= 1, 2, … называются частными
(частичными) суммами ряда.
Таким образом,
возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда
S1, S2, …,Sn, …
Определение.
Ряд
называется сходящимся, если сходится последовательность его частных
сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.
Определение.
Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет
предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и
ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов.
1) Сходимость или
расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить
конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два
ряда
и
, где С – постоянное число.
Теорема.
Если ряд
сходится и его сумма равна S, то ряд
тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)
3) Рассмотрим два
ряда
и
. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд
, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных
элементов с одинаковыми номерами.
Теорема.
Если ряды
и
сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд
тоже сходится и его сумма равна S + s.
Разность двух
сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося
и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся
рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов
решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение
суммы ряда.
Критерий Коши.
(необходимые и достаточные
условия сходимости ряда)
Для того, чтобы
последовательность
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число,
выполнялось бы неравенство:
.
1.3 Определение. Ряд
называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом
отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
Теорема.
(Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для равномерной
сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой
номер N(e), что при
n>N и любом целом
p>0 неравенство
выполнялось бы для всех х на
отрезке [a,b].
Теорема.
(Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм
Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд
сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же
отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с
положительными членами :
т.е. имеет место неравенство:
.
Еще говорят, что в
этом случае функциональный ряд
мажорируется числовым рядом
.
Б2
2.2
ряд
называется положительным, если Un≥0, для всех
n
€ N
Интегральный признак Коши.
Если j(х) –
непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … =
и несобственный
интеграл
одинаковы в смысле сходимости.
Пример. Ряд
сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный
интеграл
сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд
называется общегармоническим рядом.
Следствие.
Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и
то интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
2.3
Степенные ряды.
Определение.
Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования
на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
.
Получаем, что этот ряд
сходится при
и расходится при
.
Теперь определим сходимость в
граничных точках 1 и –1.
При х = 1:
ряд сходится по
признаку Лейбница
При х
= -1:
ряд расходится
(гармонический ряд).
1 теорема Абеля.
(Нильс Хенрик Абель (1802 –
1829) – норвежский математик)
Теорема.
Если степенной ряд
сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно
для всех
.
Доказательство.
По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
где k- некоторое постоянное число.
Справедливо следующее неравенство:
ДАЛЬШЕ >> | 
