Математика
Определение. Сумма членов бесконечной числовой
последовательности
При этом числа
Определение.
Суммы Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Определение.
Ряд Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы. Свойства рядов. 1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два
ряда
Теорема.
Если ряд
3) Рассмотрим два
ряда
Теорема.
Если ряды Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом. О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя. При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда. Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы
последовательность
1.3 Определение. Ряд Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для равномерной
сходимости ряда выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b]. Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) (Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд т.е. имеет место неравенство:
Еще говорят, что в
этом случае функциональный ряд
Б2 2.2ряд
Интегральный признак Коши.
Если j(х) –
непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … =
Пример. Ряд
Следствие.
Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и 2.3 Степенные ряды.
Определение.
Степенным рядом называется ряд вида
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
Получаем, что этот ряд
сходится при Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При х = 1:
При х
= -1: 1 теорема Абеля.
(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)
Теорема.
Если степенной ряд Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство: |
[an error occurred while processing this directive]