Сегодня

Добавить в избранное

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ УЧЕБНИК
 



ВЕРНУТЬСЯ
 

Статика

Равнодействующая двух пересекающихся сил–  ; диагональ параллелограмма . Равнодействующая сходящихся сил . Проекции силы на оси координат (для плоской сист.): Fx=F×cosaFy=F×cosb. Модуль силы:; направляющие косинусы:  разложение на составляющие: , Для пространст. сист.: ,

 Fx=Fcosa; Fy=Fcosb; Fz=Fcosg; .

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси: Rx=åFix; Ry=åFiy; Rz=åFiz; . Условия равновесия сист. сходящихся сил: геометрическое:, аналитические: åFix=0;  åFiy=0;  åFiz=0. Условие равновесия пар сил: . Момент силы относительно точки: –  векторное произведение. Модуль векторного произведения: R×F×sina= F×h. Плоская сист. сил: ±F×h,  >0 – против час.стр.; <0 – по час.стр. =(yFz – zFy)+(zFx – xFz)+(xFy – yFx), проекции момента силы на оси координат: М0x()=yFz – zFy;  М0y()=zFx – xFz;  М0z()=xFy – yFx.

Условия равновесия пл. сист. сил: аналитич.:, или,  А,В,С – точки не на одной прямой, или , ось "х" не перпендикулярна отрезку  АВ.

Закон Кулона (закон Амонта – Кулона): . Сила трения скольжения: tgjсц=fсц;   tgjтр=f. Мтр= fkN – момент трения качения. Момент силы относительно оси: . Моменты силы относительно осей координат: Мx()=yFzzFy;  Мy()=zFxxFz;  Мz()=xFyyFx. Статические инварианты: 1-ый – квадрат модуля главного вектора: I1= Fo2= Fx2+Fy2+Fz2; 2-ой – скалярное произв. главного вектора на гл. момент: I2= =Fx×Mx+Fy×My+Fz×Mz.

Проекция гл. момента на направление гл. вектора .   Мmin=M*

Главный вектор  и гл.-ый момент ,

уравнения центр.-ой оси: .

Условия равновес. простр. сист.сил: åFkx=0; åFky=0; åFkz=0; åMx(Fk)=0; åMy(Fk)=0; åMz(Fk)=0. Условия равновесия для сист. параллельных сил (||z): åFkz=0; åMx(Fk)=0; åMy(Fk)=0. Координаты центра ||-ых сил: . Координаты центра тяжести: ; ; где Р=åрk. Центр тяжести плоской фигуры: , . Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом  2a: ; кругового сектора: .

Статический момент площади плоской фигурыSx=åyi×DFi= F×ycSy=åxi×DFi= F×xc.

Объем тела вращения V=2pxcF; площадь поверхности вращения F=2pxcL.

Центр тяжести плоской фигуры с вырезанной частью: .

Кинематика

s=f(t) –естественный способ задания движения, прямолинейное движение: х=f(t).

Координатный сп.: x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t). Уравнение траектории: f(x,y,z)=0.

Векторный сп.: радиус-вектор =, модуль , направляющие косинусы:  и т.д. Переход от координатного способа к естественному: . Скорость точки. Вектор ск-сти: ; . Проекции скорости: , , . Модуль скорости: ,  направляющие косинусы:  и т.д. Естественный сп.: , , – орт касательной. Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус, j=j(t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление , поперечное направление , модуль скорости .; x=rcosj, y=rsinj. Ускорение точки. . Проекции уск.-я:  и т.д. Модуль уск.-я:,  направляющ. косинусы: , и т.д. Проекции уск. на радиальное напр-ние , поперечное напр-ние , модуль уск-я  . Модуль нормального ускорения: ,   r – радиус кривизны траектории, модуль касательного ускорения , ^, Þ . Прямолинейное движение: r= ¥, аn=0, a=at. Равномерное криволинейное движ-ие: v=const, at=0, a=an. s=s0+v×t, при s0=0 v=s/t. Равномерное прямолинейное движ-ие: а=at=an=0.

4) Равнопеременное криволинейное движ-ие: at=const, v=v0+at×t. Угловая ск-сть: . Угловое ускорение тела: . Равномерное вращение: w=const, j=wt, w=j/t, равнопеременное вращение: w=w0+et. Скорости и ускорения точек вращающегося тела: . v=w×r×sin(a)= w×(CM),  (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения. Формулы Эйлера: ,

vx=wyzwzy; vy=wzxwxz; vz=wxywyx. Если ось вращения совпадает с осью z, то vx= – wy; vy=wx. Ускорение: . Вращательное уск. , авр=e×r×sina, центростремительное уск. , ац=w2×R. Полное ускорение: . Угол, между полным и центростремит-ным ускорениями: . Плоское движение твердого тела.

Ур-ния плоского движения: xA= f1(t), yA= f2(t), j = f3(t), Скорость ; vBA= w×BAvAcosa = vBcosb. Мгновенный центр ск-ей – Р: . , . Ускорения: ,

. , , , . Мгновенный центр уск-ийQ; , . Сферическое движение твердого тела. Уравнения сферического движения: Y=f1(t); q=f2(t); j=f3(t) Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловое ускорение: . Скорости точек при сферич. движ.: , модуль v=wr×sina=w×hh– расст. от точки до мгновенной оси вращения.

Формулы Эйлера: .

Ускорения: , вращательное ускорение модуль вращат. уск. авр=e×r×sinb=e×h1h1– расст. от точки до вектора , осестремительное ускорение ,  аос=w2×h. Движение свободного тв.тела. Ур-ия движ.св.тв.тела: xA=f1(t); yA=f2(t); zA=f3(t); Y=f4(t); q=f5(t); j=f6(t) (углы Эйлера). Скорость точки св.тв.тела: . Уск-ие точки св.тв.тела: .

Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей:

,  ; ; ; , , . Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):

 и т.д.

1)     ;

2)

3) ;

4) ,

; ; . . ;  ас= 2×|we×vr|×sin(we^vr).

Сложное движение тверд. тела. Правило параллелограмма угл.ск-ей:. . Угл. ск-сть. прецессии , угл. ск-сть нутации , угл. ск. собств-го вращ-ия . ,   – кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.

Вращения направлены в одну сторону. w=w2+w1, , . 2) Вращ-ия напр. в разные стороны. , w=w2w1, . 3) Пара вращений ; vA=vB, v=w1×AB – момент пары угловых скоростей. Винтовое движение: шагом винта – h. Если v и w=const, то h==const, .            Динамика

Основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)). Дифференциальные уравнения движения материальной точки: , .  – дифференциальное ур-ие прямолинейного движения точки, общее решение x=f(t,C1,C2), начальные условия: t=0, x=x0, =Vx=V0.

Свободные колебания c/m=k2, x= C1coskt + C2sinkt,

= – kC1sinkt + kC2coskt,  С1= х0, С2=/k, т.е. x= х0coskt + (/k)sinkt.

С1sinb, C2=Acosb, x=Asin(kt+b) – гармонические колебания, А=–амплитуда, tgb=kx0/, b – начальная фаза свободных колеб.; – собственная частота колеб.; период Т=2p/k. Статическое отклонение dст=Р/с. Т=2p.

Затухающие колебания Rx= – b сила сопротивления, b/m=2n, ,  характеристическое уравнение: z2 + 2nz + k2= 0, его корни:

z1,2=. а) n<k  ,

x=Ae-ntsin(kt+b). , ; частота затухающих колебаний: k*=; период:  – декремент колебаний; –nT*/2 логарифмический декремент;  "n" – коэффициент затухания.

Б) Апериодическое движение  n ³ k . При n > k , обозначая С1=(В12)/2, С2=(В12)/2,   . При n = k  , , Вынужденные колебания возмущающая сила: Q = Hsin(pt+d), р – частота возмущающей силы, d – начальная фаза. , h=Н/m, . х = х***. х*= C1coskt + C2sinkt,  х**= Asint+d).

 – количество движения матер.точки,  – элементарный импульс силы.  – теорема об изменении количества движ. матер. точки  в дифф. форме или .    – импульс силы за [0,t]. В проекциях на оси координат:  и т.д. - момент количества движения матер. точки относительно центра О. Теорема об изменении момента количества движения матер. точки.  . Если МО= 0, Þ =const. =const, где – секторная скорость. Элементарная работа dA = FtdsFt – проекция силы на касательную к траектории, или dA = FdscosadA= – скалярное произведение; dA= Fxdx+Fydy+Fzdz. Работа силы на любом конечном перемещении М0М1: . Если F=const, то = F×s×cosa. , .

Работа силы тяжести: . A>0, если М0 выше М1.

Работа силы упругости: .

Работа силы трения: , Fтр=fN.        Сила притяжения (тяготения): , k=gR2.  Работа силы тяготения:.

Мощность . Если N=const, то N=A/t.

Теорема об изменении кинетической энергии точки. В диффер-ной форме: . – кинетическая энергия матер.точки. В конечном виде: .   , U=U(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…xn,yn,zn) – силовой функцией. Элементарная работа сил поля: dА=ådАi= dU. Работа сил на конечном перемещении . Потенциальная энергия – П  равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. А1,2= П1– П2. Потенц. энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенц.энерг.поля центральных сил. Центральная сила –. Гравитационная сила ,, f = 6,67×10-11м3/(кгс2) – постоянная тяготения. Первая космическая скорость v1=» 7,9 км/с, R = 6,37×106м – радиус Земли; вторая космическая скорость: v11=» 11,2 км/с. Потенц. энергия восстанавливающей силы пружин: , l – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: .

Динамика материальной системы и твердого тела

Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор  которой определяется равенством: , где – радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс:  и т.д. Дифф-ные ур-ния движения системы матер.точек:  или в проекциях на оси координат:  и т.д. для каждой точки (тела) системы.  Момент инерции матер.точкиmh2. Момент инерции тела: Jz= åmkhk2. При непрерывном распределении масс: Jx= ò(y2+z2)dmJy= ò(z2+x2)dmJz= ò(x2+y2)dm.  Jz= M×r2, r – радиус инерции тела. Полярный момент инерции Jo= ò( x2+y2+z2)dm;   Jx+Jy+Jz= 2Jo. Центробежный момент инерции: Jxy=òxy dm; Jyz=òyz dm; Jzx=òzx dm.  Jxy=Jyx

Тензор инерции в данной точке:

Моменты инерции стержня: ; . Сплошной диск: .

Полый цилиндр: , цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч): . Теорема Гюйгенса-Штейнера: . Момент инерции относительно произвольной оси:  J = Jxcos2a + Jycos2b + Jzcos2g – 2Jxycosacosb – 2Jyzcosbcosg – 2Jzxcosgcosa, если координатные оси – главные, то:

J = Jxcos2a + Jycos2b + Jzcos2g.           Теорема о движении центра масс системы:

. дифференциальное уравнение движения центра масс: .

Закон сохранения движения центра масс. Если  Þ , если при этом в начальный момент vCx0= 0, то Þ  Þ xC= const. Количество движения системы . Теорема об изменении количества движения системы: , проекциях: . Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме: .  – импульсы внешних сил. В проекциях: Q1xQ0x = åSekx. Закон сохранения количества движения:  Þ = const, в проекциях:  Þ Qx= const. Дифф-ное уравнение движения точки переменной массы:  – уравнение Мещерского,

 – реактивная сила,  секундный расход топлива, . Формула Циолковского.  – число Циолковского,  m0 – стартовая масса ракеты. Главный момент количеств движения матер. системы (кинетический момент)  . Теорема теорема об изменении кинетического момента: ; . Закон сохранения кинетического момента: если , то . Кинетический момент вращающегося тела

Kz = Jzw. Если Mz= 0, то  Jzw = const. Кинетическая энергия системы .

Т = åТк. Поступательное движение: Тпост=. Вращательное: Твр=. Плоскопараллельное (плоское): Тпл=+vC – скорость центра масс. Теорема Кенига: Т=+. Работа момента: . Мощность: N=Mzw.

Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме: dT = , в конечной форме: Т2 – Т1= . Для неизменяемой системы  и   Т2 – Т1= . Коэфф-нт полезного действия:, h= Nмаш/Nдв. Закон сохранения полной механической энергии: Т + П = const.

Дифференциальные ур-ния поступательного движения тела:  и т.д.  Дифф-ные ур-ния вращения тела вокруг неподвижной оси,   . 1) если = 0, то w = const; 2) = const, то e = const.

Ур-ние вращательного движения физического маятника: , , дифф-ное уравнение колебаний маятника: ,  sinj » j, тогда  – дифф-ное уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения: j = С1coskt + C2 sinkt или  j = asin(kt + b). Период малых колебаний физического маятника Т= 2p/k = 2p. Для математического маятника:.

L=– приведенная длина физического маятника. полюса.

Дифф. ур.-я плоского движения тела: ; ; .

 — принцип Даламбера для материальной точки.

Сила инерции: .

Для системы добавляется: .

 – главный вектор сил инерции,   – главный момент сил инерции.  — уравнения кинетостатики.

Главный вектор сил инерции . Главный момент сил инерции при плоском , при вращении вокруг оси z  .

Определение реакций при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.

Центробежная сила инерции , вращательная .

 и , , .

,

,

,

– центробежные моменты инерции,

Уравнения равновесия кинетостатики:

,

,

,

,

,

.

Условия отсутствия динамических составляющих:

, , , , откуда xC= 0, yC= 0, Jyz= 0, Jzx= 0.

Принцип возможных перемещений: ;

.

Общее уравнение динамики .

Уравнения Лагранжа 2-го рода, (i=1,2…s), s – число степеней свободы; qi – обобщенная координата; – обобщенная скорость,

Т = Т(q1,q2,…,qS,,,t) – кинетическая энергия; Qi – обобщенная сила.

. ,   П = П(q1,q2,…,qS,t) – потенциальная энергия.

Функция ЛагранжаL = T – П,   – уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.

При стационарных связях   – квадратичная форма обобщенных скоростей,  aij= ajiкоэффициенты инерции.

ВЕРНУТЬСЯ
 
>









Главная| Контакты | Заказать | Рефераты
 
Каталог Boom.by rating all.by

Карта сайта | Карта сайта ч.2 | KURSACH.COM © 2004 - 2011.