Условия равновесия пл. сист. сил: векторное: . аналитич:

, или где  А,В,С – точки, не лежащие на одной прямой, или , ось "х" не перпендикулярна отрезку  АВ.

Равновесие тел при наличии трения. Закон Кулона (закон Амонта – Кулона): максимальная сила сцепления пропорциональна нормальному давлению тела на плоскость

, f_сц – коэффициент сцепления (зависит от материала, состояния поверхностей, определяется экспер-но). Направление силы сцепления противоположно направлению того движения, которое возникло бы при отсутствии сцепления. При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена сила трения скольжения. Ее направление противоположно скорости тела , f –коэффициент трения скольжения (определяется опытным путем). f<f_сц. Реакция шероховатой (реальной) поверхности в отличии от идеально гладкой имеет две составляющие: нормальную реакцию и силу сцепления (или силу трения при движении). Угол j_сц–угол сцепления (j_тр – угол трения)  tgj_сц=f_сц   (tgj_тр=f). Конус с вершиной в точке касания тел, образующая которого составляет угол сцепления (угол трения) с нормалью к поверхностям тела назыв. конусом сцепления (конус трения). Для того чтобы тело начало движение, необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил находилась вне конуса трения. Трение качения – сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Причина его появления в деформации катка и плоскости в точке их соприкосновения и смещения нормальной реакции в сторону возможного движения. М_тр= f_kN – момент трения качения, f_k – коэффициент трения качения; имеет размерность длины.

Пространственная система сил. Момент силы относительно оси – скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью. Момент >0, если смотря навстречу оси, мы видим поворот, который стремится совершить сила направленный против час.стр. ,

На рис. М>0. Момент силы относительно оси равен 0: 1) если сила параллельна оси (F_xy=0), 2) если линия действия силы пересекает ось (h=0); т.е. если ось и сила лежат в одной плоскости. Аналитические выражения моментов силы относительно осей координат: М_x( )=yF_z – zF_y;  М_y( )=zF_x – xF_z;  М_z( )=xF_y – yF_x.

Приведение пространственной системы сил к данному центру решается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Любая система сил, действующих на абс.тв.тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом М_О, равным главному моменту системы относительно центра О (главный вектор – векторная сумма всех сил, приложенных к телу; главный момент относительно центра –векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно того же центра). Статические инварианты пространств. сист. сил – такие характеристики этой системы, которые остаются неизменными при перемене центра приведения. 1-ый инвариант – главный вектор (квадрат модуля главного вектора): I₁= F_o²= F_x²+F_y²+F_z²;  2-ой инвариант – скалярное произведение главного вектора на главный момент: I₂= =F_x×M_x+F_y×M_y+F_z×M_z. При перемене центра приведения проекция главного момента на направление главного вектора М^* не изменяется  . Совокупность силы  и пары сил, с моментом , расположенной в плоскости перпендикулярной линии действия этой силы, назыв. динамой (силовым винтом). Система приводится к динаме, если второй статический инвариант не равен 0. Прямая, вдоль которой направлены  и , называется центральной осью системы сил. Центральная ось системы сил – геометрическое место точек пространства, относительно которых главные моменты заданной системы сил имеют наим-ший модуль М_min=M^* и направлены вдоль этой оси. Если главный вектор  и гл.-ый момент , то уравнения центральной оси: .

Случаи приведения пространственной системы сил:

Теорема Вариньона ( теорема о моменте равнодействующей силы): момент равнодействующей относительно любой точки = геометрической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки. Условия равновесия пространств. сист.сил:

åF_kx=0; åF_ky=0; åF_kz=0; åM_x(F_k)=0; åM_y(F_k)=0; åM_z(F_k)=0. Условия равновесия для системы параллельных сил (||z): åF_kz=0; åM_x(F_k)=0; åM_y(F_k)=0. Центр параллельных сил – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей системы ||-ых сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол. Координаты центра ||-ых сил:  и т.д.

Центр тяжести твердого тела – точка, неизменно связанная с этим телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела при любом положении тела в пространстве. При этом поле тяжести считается однородным, т.е. силы тяжести частиц тела параллельны друг другу и сохраняют постоянную величину при любых поворотах тела. Координаты центра тяжести:

; ; , где Р=åр_k, x_k,y_k,z_k – координаты точек приложения сил тяжести  р_k. Центр тяжести – геометрическая точка и может лежать и вне пределов тела (например, кольцо). Центр тяжести плоской фигуры:

, DF_k – элементарная площадка, F – площадь фигуры. Если площадь нельзя разбить на несколько конечных частей, то . Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси. Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом 2a: ; кругового сектора: ; треугольник: в точке пересеч. медиан (1/3 медианы от основания).

Статический момент площади плоской фигуры – сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав площади фигуры, на алгебраические значения расстояний до некоторой оси.  S_x=åy_i×DF_i= F×y_c;  S_y=åx_i×DF_i= F×x_c.

Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести:

Т.1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Т.2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

Т.3. Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести, V=2px_cF.

Т.4. Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центром тяжести, F=2px_cL.

Определяя положение центра тяжести плоской фигуры с вырезанной из нее частью, можно считать площадь этой части отрицательной и тогда:  и т.д. — способ отрицательных площадей (объемов).